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Satz 2.2. Die Summe m aus zwei beliebigen natürlichen Zahlen ist genau dann eine ungerade Zahl (n₁ = 0), wenn genau einer der Summanden ungerade ist: Das Produkt aus zwei natürlichen Zahlen a₁a₂ kann nur ungerade sein, wenn a₁und a₂ ungerade sind.

Satz 2.3. Aus dem allgemeinen Binomischen Satz ergibt sich für a=b=1 und m=ungerade natürliche Zahl weil (mν) = (mm − ν) gilt. Für eine gerade Zahl m = 2l ergibt sich mit dem binomischen Koeffizienten Wählt man eine ungerade Primzahl p ≥ 3 für m, so gilt außer B_m, ν = (mν) = B_{m − ν, ν} = (m − νν),  daß in jedem Binomialkoeffizienten mit 0 < ν < m der größte Faktor im Zähler gleich p ist, also ausgeklammert werden kann, da er als Primzahl gegen keinen Nennerfaktor, die alle kleiner sind, zu kürzen ist: oder sowie Aus (9↑) folgt 2^p − 1 − 1 = pM = 3pM^’ nach (18↓), sodaß (10↑) auch als 2^p + 1 = 3(1 + 2pM^’) geschrieben werden kann. Stets gilt dann 2^p − 1 ≡ 1mod3, 2^p + 1 ≡ 0mod3.

Satz 2.4. Sei p > 2 eine Primzahl, m > 1 eine ungerade natürliche Zahl. Dann gelten mit N_± > 1 Bew.: Man wähle in Satz 2.3. für m ein m^’ = pm. Mit den Abkürzungen L = 2^p − 1 , M = 2^p + 1 kann geschrieben werden mit N₋ = ∑^m − 1_ν = 0B_m, νL^{m − 1 − ν} > 1. Analog folgt mit N₊ = ∑^m − 1_ν = 0B_m, ν( − 1)^νM^{m − 1 − ν} sodann 2^pm + 1 = (M − 1)^m + 1 = ∑^m − 1_ν = 0B_m, ν( − 1)^νM^m − ν = MN₊ , q.e.d.

Bemerkung 2.4.1. Es gilt Satz 2.4. für jeden Teiler pi von m’ = a nach (1↑). Daraus folgt aber nur, wenn Teilerfremdheit (2pi±1)∤(2pj±1)∀i, j ≤ n0 gezeigt ist. Andernfalls tritt ein Teiler pk\(2pi±1) im Ausdruck für 2m’±1 nur höchstens in der Potenz auf, in der er in einem der Teilerbinomina vorkommt: pnkk\(2pi±1). Das Beispiel 23⋅11 + 1 = 32⋅67⋅683⋅20857 ≠ (23 + 1)(211 + 1)N +  = (32)(3⋅683)N +  zeigt, daß der Faktor pk = 3 nicht in 3., sondern nur in 2. Potenz in der Faktorisierung auftritt.

Bemerkung 2.4.2. Während (11↑) auch für p₁ = 2 gilt, ist dies bei (12↑) nicht der Fall, was aus dem folgenden Satz hervorgeht.

Satz 2.5. . Seien i, m natürliche Zahlen, m > 1 ungerade. Dann gilt ∀i, m mit den Fermat-Zahlen F_ν = (2^(2ν) + 1) und M_ν > 1, ungerade, mit M_i > 1; nur für m = 1 folgt M_i = 1. Dabei kann (2^m − 1) noch nach Satz 2.4. weiter aufgespaltet werden. Falls m = p_jm^’ gilt, kann etwas allgemeiner statt (15↑) geschrieben werden: Bemerkung 2.5.1.: Wegen 2⁰ = 1 gilt ∀m ungerade Weil für jede gerade Zahl g gilt folgt 3\(2^g − 1) ∀g.

Bew.: ad (15↑) :

(16↑) ergibt sich analog, indem im ersten Schritt nur [⋯]^m’oder [⋯]^p gebildet wird. Für m > 1 folgt stets M_i > 1 wegen ad (14↑):

Hierin tritt das Produkt aller Fermat-Zahlen mit ν = 0(1)i − 1 auf, weil jede Fermat-Zahl F_i teilerfremd ist zu allen F_ν mit ν < i (siehe folgender Satz); q.e.d.

Satz 2.6. Folgende Ausdrücke sind zueinander teilerfremd: a) b) die Fermatzahlen Bew.: ad a) Wegen (2ⁱ + 1) − (2ⁱ − 1) = 2 ist der größte gemeinsame Teiler  ≤ 2. Da ∀i > 1 gilt 2ⁱ±1≥3 ungerade, kann nur eine ungerade Zahl ≥3 gemeinsamer Teiler sein. Die Menge der gemeinsamen Teiler ist also leer, es gilt a).

ad b) Es ist F_i − 1(F_i − 1 − 2) = (2^{(2i − 1)} + 1)(2^{(2i − 1)} − 1) = 2⁽²ⁱ⁾ − 1 = F_i − 2. Dann folgt F_i − 1 = (F_i − 2)/(F_i − 1 − 2) und ∏^i − 1_ν = 0F_ν = (F_i − 2)/(F_i − 1 − 2)⋅(F_i − 1 − 2)/(F_i − 2 − 2)⋅…⋅(F₁ − 2)/(F₀ − 2) = F_i − 2 nach Kürzung, da F₀ − 2 = 1, also gilt b) ; q.e.d.

Aus dem bisher Ausgeführten geht hervor, daß als Primzahlanwärter nur die Mersenne-Zahlen M_p = 2^p − 1 und die Fermat-Zahlen F_i = 2⁽²ⁱ⁾ + 1 in Betracht kommen. Alle anderen z_± = (2^x±1) sind als teilbar erwiesen. Es wäre daher wünschenswert, die Primzahl-Anwärterzahlen aufgrund von Exponenteneigenschaften allein in prime und teilbare Zahlen klassifizieren zu können, zumal unter den Anwärtern nur wenige echte Primzahlen enthalten sind.

Eine weitere Klasse teilbarer Zahlen definiert

Satz 2.7. Es sei gemäß der kanonischen Primzahlzerlegung (1↑) n = ∏∞i = 1pαii = m2α1 mit m > 1, ungerade, und p’ = 2n + 1 > 3 eine ungerade Primzahl. Dann gilt Bemerkung 2.7.1: Insbesondere impliziert (22↑) für (p’ − 1)/(2) = n = m = p ≡  − 1mod4 die Teilbarkeit der Mersennezahl Mp,  also sowie (23↑) für (p’ − 1)/(2) = n = m = p ≡  + 1mod4,  daß gilt. (Den Beweis, daß p’\(2p − 1) gilt, g.d.w. p’ = 2p + 1 und p ≡ 3mod4 gilt, s. [1], p.174, Satz 21 mittels quadratischen Kongruenzen.)

Bemerkung 2.7.2. Ist n = p_im ≡ ±1mod4,  so folgt unter Berücksichtigung von (11↑), (12↑) Ob darin p^’\(2^p_i±1) gilt oder p^’\N_i, ± , bleibt zunächst offen.

Bew.: Mit p^’ statt p in (9↑) folgt unter Beachtung der Bemerkung zu Satz 2.5. und mit p^’ − 1 = 2n = m2^1 + α n = (p^’ − 1)/(2) = m2^α. Darin ist stets nichtprim mit F_α = (2^(2α) + 1), M_α > 1∀m > 1; nur für m = 1 ist M_α = 1 und F_α Primzahlanwärter; sowie Die Folge der Fermat’schen Primzahlen beginnt mit Ist m teilbar, etwa p_j\m, so gilt zusätzlich (2^m − 1) = (2^p_j − 1)N_j − nichtprim.

a) Zuerst sei α = 0 angenommen. Dann ist n = m ≥ 3 und p^’ = 1 + 2m. Mithin gilt für m mod 8 ≡ 1 oder 5 (d.h. m mod 4 ≡ 1 ), daß p^’ ≡ 3 mod 8 und für m mod 8 ≡ 3 oder 7 (d.h. m mod 4 ≡  − 1 ), daß p^’ ≡ 7 mod 8. Es sei nun m = p als Primzahl angenommen und

1.) p^’ = 1 + 2p ≡ 3 mod 8, also p mod 8 ≡ 1 oder 5, d.h. p mod 4 ≡ 1. Nimmt man weiter unter dieser Voraussetzung an, daß p^’\(2^p − 1) gilt, so folgt hieraus unter Beachtung von (9↑), (10↑), (17↑), (18↑), 2^p − 1 = 1 + 2⋅3pM^’₁ ≡ 7 mod 8 und weiter 2^p − 1 − 1 = 3pM^’₁ ≡ 7 mod 8, also pM^’₁ ≡ 5 mod 8, sowie 2^p + 1 = 3(1 + 2pM^’₁) ≡ 1 mod 8 und weiter 1 + 2pM^’₁ ≡ 3 mod 8, also pM^’₁ ≡ 1 mod 8 im Widerspruch zur vorigen Zeile. Mithin ist die Annahme p^’\(2^p − 1) falsch. Da die Annahme (3p^’)\(2^p + 1) wegen 3p^’ ≡ 1 mod 8 keinen Widerspruch liefert, ist (23↑) bewiesen für m = p.

2.)Sei p^’ = 1 + 2p ≡ 7 mod 8, also p mod 8 ≡ 3 oder 7 bzw. p mod 4 ≡  − 1. Sei weiter angenommen, daß p^’\(2^p + 1) gilt, so folgt daraus 2^p + 1 = 3 + 2⋅3pM^’₁ ≡ 1 mod 8, also 2^p − 1 − 1 = 3pM^’₁ ≡ 7 mod 8, also pM^’₁ ≡ 5 mod 8. Andererseits folgt aus 2^p + 1 = 3(1 + 2pM^’₁) ≡ 1 mod 8, also 1 + 2pM^’₁ ≡ 3 mod 8, der Widerspruch pM^’₁ ≡ 1 mod 8. Daher gilt (22↑) für m = p.

b) Im Falle α = 1 gilt p^’ = 1 + m2^1 + α = 1 + 4m ≡ 5 mod 8 ∀m , n = (p^’ − 1)/(2) = 2m und wegen 2^4m − 1 = (2^2m + 1)(2^2m − 1) = p^’M = 3p^’M^’. Darin ist 2^2m + 1 = F₁M₁ mit F₁ = 5, M₁ ≡ 5 mod 8 und 2^2m − 1 = (2^m + 1)(2^m − 1) mit 2^m + 1 = F₀M₀, F₀ = 3, M₀ ≡ 3 mod 8, und 2^m − 1 = (2^p_j − 1)N_j − ≡ (2^p_j − 1) ≡ 2^2m − 1 ≡ 7 mod 8, N_j − ≡ 1 mod 8. Nun gilt 3\(2^2m − 1), 3\(2^m + 1), 3∤(2^m − 1), 3∤(2^2m + 1). Es ist 2^2m + 1 ≡ 5² mod 8 und 2^2m − 1 = (2^m + 1)(2^m − 1) ≡ (3² mod 8)⋅(7 mod 8), worin kein Faktor  ≡ 5 mod 8, also kein p^’ vorkommt. Deshalb kann p^’ ≡ 5 mod 8 nur Teiler von (2^2m + 1) sein, also gilt (24↑) mit n = 2m. (Sollte nämlich in 2^m − 1 ein Faktor  ≡ 5 mod 8 enthalten sein, so müßte auch ein Faktor  ≡ 3 mod 8 darin möglich sein, damit  ≡ 7 mod 8 entsteht. Der Faktor  ≡ 3 mod 8 tritt aber in 2^m + 1 auf, das teilerfremd zu 2^m − 1 ist.)

c) Im Falle α ≥ 2 gilt schließlich 1 + m2^1 + α ≡ 1 mod 8 ∀m, (p^’ − 1)/(2) = n = m2^α. Statt (28↑) haben wir dann worin 2ⁿ + 1 = F_αM_α mit F_α ≡ M_α ≡ 1 mod 2^(2α) ∀α ≥ 2 und mit ∏¹_ν = 2F_νM_ν = 1 für α = 2. Darin bezeichnet p_j einen beliebigen Teiler von m, für den Satz 2.4. die angegebene Darstellung garantiert.

Es kann nun p^’\(2ⁿ + 1) nicht gelten, weil beide angegebenen Faktoren  ≡ 1 mod 2^(2α) erfüllen, während p^’ = 1 + m2^1 + α ≡ 1 mod 2^1 + α nur erfüllt mit 2^1 + α < 2^(2α)∀α > 2. Daß für α = 2 gilt 2^1 + α = 2^(2α), stört nicht, weil m > 1 vorausgesetzt ist. Dann muß also (21↑) gelten; q.e.d.

Ob der Teiler p^’ nun p^’\(2^m − 1) = (2^p_j − 1)N_j − mit N_j − ≡ 1 mod 8 erfüllt oder p^’\F_νM_ν, F_ν ≡ M_ν ≡ 1 mod 8, bleibt offen.

Def. 5.2. Es sei x eine beliebige reelle Zahl. Dann bezeichne [x] die größte ganze Zahl, die noch kleiner oder gleich x ist, und ≺x≻ sei die größte Primzahl, die  ≤ x ist.

Bemerkung 5.2.1. Stets gilt Def. 5.3. Es bezeichne C_i, m, k das zahlenmäßige Produkt aller Elemente der k-ten Kombination von i Elementen ohne Wiederholungen. Der Index k soll keine Ordnung der Kombinationen, sondern lediglich deren Unterscheidbarkeit und somit Numerierbarkeit bewirken. Es gelte d.h. eine Kombination aus i = 0 Elementen soll den Faktor 1, die multiplikative Invariante, ergeben.

Bemerkung 5.3.1. Die über k summierte Anzahl B der Kombinationen C_{j, i − 1, k} ergibt einen binomischen Koeffizienten Dann soll abkürzend geschrieben werden: Bemerkung 5.3.2. Es gilt Def. 5.4. Es sei x eine beliebige positive reelle Zahl. Dann bezeichne i₀ den durch definierten zugehörigen Index in der natürlichen Folge der Primzahlen.

Lemma 5.1. Seien {a, b} reelle Zahlen, a = [a] + ϵ_a, b = [b] + ϵ_b, 0 ≤ ϵ_a, b < 1. Dann

gilt

für a < 0 ist [ − ∣a∣] = [a] und [ − a] = [∣a∣]; Bew.: Die Beziehungen (39↑) entsprechen der Definition 5.2. , woraus ebenfalls folgt a + b ≥ [a + b] = [[a] + ϵ_a + [b] + ϵ_b] = [a] + [b] + [ε_a + ε_b] ≥ [a] + [b], weil [a] und [b] als ganzzahlige Größen ohne Wertänderung aus der Summe in der äußeren eckigen Klammer herausgezogen werden können und 0 ≤ ε_a + ε_b < 2 gilt, womit die erste Formel (40↑) gezeigt ist. Die zweite Ungleichung unter (40↑) folgt aus der ersten mit a^’ = a − b, also a ≥ [a] = [a − b + b] = [a^’ + b] ≥ [a − b] + [b]. Die dritte Ungleichung ist eine Umstellung der zweiten. Wegen [a] = [a − ∑_i b_i + ∑_i b_i] ≥ [a − ∑_i b_i] + [∑_i b_i] ≥ [a − ∑_i b_i] + ∑_i[b_i] folgt sofort (41↑). Ersetzt man in (40↑) a durch a^’ = ∣a∣ und b durch b^’ =  − ∣b∣, so folgt (42↑) mit Hilfe von (39↑); q.e.d.

Lemma 5.2. Seien {a, b} reelle Zahlen, {c, n} natürliche Zahlen. Es gelte ∣a∣ ≥ ∣b∣ und a ≠ nbc. Dann gilt für c = 1 sowie ∀c > 1 sowie Bew.: Die Aussage für c = 1 ist trivial wegen ⎡⎣(1)/(c)⎤⎦ = (1)/(c) = 1,  weswegen auch (44↑) für c = 1 auf 0 = 0 führt. Für c > 1 gilt wegen (a)/(b) = ⎡⎣(a)/(b)⎤⎦ + ε mit 0 ≤ ε < 1 und [a] ≤ a = n_ab + r_b , 0 ≤ r_b < b,  (a)/(b) = (n_ab + r_b)/(b) = n_a + (r_b)/(b) mit n_a = ⎡⎣(a)/(b)⎤⎦, 0 ≤ (r_b)/(b) = ε_b < 1. Es enthält n_a stets das Vorzeichen von (a)/(b) , welches in der [⋅] bleiben muß und nicht etwa mit der als positiv vorausgesetzten Konstante c herausgezogen werden darf. Nach Division durch c ergibt sich mit 0 ≤ r_c ≤ c − 1, also 0 ≤ r_c + (r_b)/(b) < c, sodaß n_c = ⎡⎣(a)/(bc)⎤⎦,  0 ≤ ε_bc: = (r_c)/(c) + (r_b)/(bc) < 1 gilt. Dann hat man als ganzzahligen Anteil aus der dritten eckigen Klammer, deren gebrochener Teil unterdrückt werden soll. Dann folgt also (43↑), und daraus  − ⎡⎣(a)/(bc)⎤⎦ ≥  − (1)/(c)⎡⎣(a)/(b)⎤⎦,  was nach Addition von ⎡⎣(a)/(b)⎤⎦ gerade (44↑) ergibt; q.e.d.

Lemma 5.3. Mit den Bezeichnungen aus Definition 5.3. gilt unter Beachtung der Bemerkungen 5.3.1. und 5.3.2. und Bew.: Die linke Seite von (46↑) ergibt sich bei sukzessiver Berechnung des Produktes der rechten Seite: Für i = 1 hat man nach Definition i = 2: i = 3:

Induktionsvoraussetzung: Die Formel gilt ∀i ≤ i₀ − 1 = 2. Dann gilt für i = i₀:

q.e.d.

Schritt 0: Streichung der natürlichen Zahl 1 in {n_i} als Nichtprimzahl. Es ist σ₀(x) = 1.

Schritt 1: In {n_i} stehen σ^’₁(x) = ⎡⎣(x)/(2)⎤⎦ Zahlen , die ohne Rest durch p₁ = 2 teilbar sind. Die erste dieser Zahlen ist p₁ selbst, welche nicht zu streichen ist, sodaß σ₁(x) = ⎡⎣(x)/(p₁)⎤⎦ − 1 Streichungen hinzukommen. Zusammen sind nun s₁(x) = σ₀(x) + σ₁(x) = ⎡⎣(x)/(p₁)⎤⎦ Zahlen gestrichen.

Schritt 2: In {n_i} waren σ^’₂(x) = ⎡⎣(x)/(p₂)⎤⎦ Zahlen ohne Rest durch p₂ = 3 teilbar. Davon ist p₂ selbst abzuziehen sowie alle geraden Vielfachen von p₂, die schon im ersten Schritt erfaßt wurden, nämlich ⎡⎣(x)/(p₁p₂)⎤⎦ Stück. Somit sind neu zu streichen σ₂(x) = ⎡⎣(x)/(p₂)⎤⎦ − 1 − ⎡⎣(x)/(p₁p₂)⎤⎦, sodaß gilt Unter Beachtung der Definitionen 5.2. und 5.3. erkennt man, daß die Behauptung (49↑) bis zum (i₀ − 1) −  ten Schritt, (i₀ − 1) = 2,  erfüllt ist. Damit folgt durch Schluß von (i₀ − 1) auf i₀

Schritt i₀: Die kleinste in den ersten (i₀ − 1) Schritten nicht gestrichene Zahl, die noch  > p_i0 − 1 ist, ist die nächste Primzahl p_i0. Die Anzahl der in {n_i} existenten ganzzahligen Vielfachen von p_i0 ist σ^’_i0(x) = ⎡⎣(x)/(p_i0)⎤⎦ − 1. Diese Zahl ist zu vermindern um alle bereits gestrichenen gemeinsamen Vielfachen von p_i mit p_j , j = 1, 2, …, (i − 1),  also ∑^i − 1_j = 1⎡⎣(x)/(p_ip_j)⎤⎦. Diese letzte Summe ist ihrerseits zu vermindern um die Vielfachen mit 3 gemeinsamen Primfaktoren, also um ∑^{i₀ − 1}_{j1, 2 = 1}⎡⎣(x)/(p_i0p_j1p_j2)⎤⎦,  j₂ > j₁,  die sonst doppelt gezählt würden. Allgemein ist jede solche Summe mit k Faktoren im Nenner ihrerseits zu vermindern um eine solche mit (k + 1) Nennerfaktoren, solange bis k = i₀ erreicht wird: Dies ist die behauptete Beziehung (49↑). Es bleibt lediglich noch darauf hinzuweisen, daß das Verfahren mit dem i₀ − ten Schritt abbricht, wenn i₀ gemäß Definition 5.4. ermittelt wird, weil spätestens dann alle Nichtprimzahlen  ≤ x gestrichen sind; q.e.d.

Zur Veranschaulichung der Gleichung (49↑) mögen folgende Beispiele dienen.

Beispiel 1: x = 122,  p_i0 = ≺√(122)≻ = 11,  also i₀ = 5. Somit ergibt sich

Daraus folgt nach (48↑) für die Anzahl Primzahlen bis 122 in Übereinstimmung mit Primzahltafeln π(122) = 122 − σ(122) = 30.

Das Beispiel zeigt, daß es zur Berechnung von π(122) reicht, alle Primzahlen
 ≤ ≺√(122)≻ = 11 = p₅ zu kennen, obwohl die größte Primzahl, die bis x = 122 auftritt, p₃₀ = 113 lautet.

Beispiel 2: x = 168 ; mittels derselben Formel erhält man σ(168) = 129, also π(168) = 39. Es ist p₃₉ = 167,  denn erst ab x = 169 ist p₆ = 13 in der Formel für σ(x) zu berücksichtigen. Für konkrete Berechnungen von σ(x) bzw. π(x) für große Zahlen x ist dieses Verfahren natürlich zu aufwändig. Ein möglichst frühzeitiges Erkennen aller Nullsummanden wäre im Interesse einer Aufwandsreduzierung wünschenswert, wie es im Falle des letzten Summanden möglich ist, weil ∀x > 2 gilt p_i↓ > x.

Offensichtlich bietet aber die Kenntnis der Gleichung (49↑) prinzipiell eine Möglichkeit, über die Primeigenschaft einer ungeraden Zahl x = 2n + 1 zu entscheiden, indem man Δ = σ(2n + 1) − σ(2n) bildet. Voraussetzung dafür ist die Kenntnis aller Primzahlen  ≤ p_i0 = ≺√(2n + 1)≻. Ergibt sich Δ = 1, so ist x teilbar; im Falle Δ = 0 ist x Primzahl. Es ist hierzu keinerlei Kenntnis über Primzahlen  > p_i0 erforderlich. Berechnet man zusätzlich σ(2n + 3), so erfährt man, ob ein Primzahlzwilling vorliegt. Gilt Δ₂ = σ(2n + 3) − σ(2n + 1) = 2,  so muß x = 2n + 3 neben 2n + 2 teilbar sein, für Δ₂ = 1 ist x₂ = 2n + 3 Primzahl. D.h. für Δ = Δ₂ = 1 gilt {2n + 1, 2n + 3} = Primzahlzwilling. Auch hierzu zwei simple Beispiele aus dem Intervall p²₃ = 25 < x < p²₄ = 49. Wegen i₀ = 3 genügt die Betrachtung der Formel aus Beispiel 1 ohne s₄ und s₅.

Beispiel 3: 2n = 28 liefert σ(2n) = 19,  π(2n) = 9,  σ(2n + 1) = 19,  π(2n + 1) = 10. Also ist 29 eine Primzahl. Wegen σ(2n + 3) = 20,  π(2n + 3) = 11 ist auch 31 Primzahl, also ist {29, 31} ein Primzahlzwilling.

Beispiel 4: 2n = 40 liefert σ(40) = 28,  π(40) = 12,  σ(41) = 28,  π(41) = 13,  σ(43) = 29,  π(43) = 14,  also ist auch {41, 43} Zwilling.

Es gilt sogar für die Anzahl der Primzahlen in η_n Bew.: Für n = 1 enthält das Intervall η₁ = (1, 4] nur 2 innere Zahlen, die Primzahlen 2 und 3. Die Intervallränder sind konstruktionsbedingt stets nichtprim. Nach (49↑) ergibt sich die Anzahl von Nichtprimzahlen im Intervall (50↑) zu Darin bedeuten i₀, i^’₀ die Indizes aus Aus (52↑) folgt mit Es ist Da n und (n + 1) benachbarte natürliche Zahlen sind, kann i^’₀ > i₀ nur gelten, wenn (n + 1) = p_i0 + 1 = p_i’0 selbst Primzahl ist. Für den Fall, daß (n + 1) nichtprim ist, muß daher gelten i^’₀ = i₀,  woraus D = 0 folgt. Dann lassen sich die Summen vollständig zusammenfassen: Am Schluß des Beweises von Satz 5.1. wurde darauf hingewiesen, daß im Ausdruck für σ(x) die Summe über i automatisch bei i₀ abbricht. Läßt man nun im Ausdruck σ(η_n) auch für σ(n²) die Summe über i bis i^’₀ laufen wie bei σ((n + 1)²),  so begeht man keinen Fehler, weil dadurch der Wert weder für σ(n²) noch für σ(η_n) geändert wird. Ersetzt man in (55↑) i₀ durch i^’₀,  so stellt diese Gleichung den allgemein gültigen Ausdruck für σ(η_n) dar. Wir lassen daher im Folgenden einfach D weg und interpretieren das i₀ als i^’₀. Durch Einführung der Summationsschrittweite 2 (in Zeichen: ∑^i − 1_j = 0(2)⋯) lassen sich Terme mit gleichen Vorzeichen in endlichen Summen zusammenfassen:

Diese Gleichung sollte nun nach beiden Seiten abgeschätzt werden. Mit Hilfe von (40↑) schätzt man ab ⎡⎣((n + 1)²)/(pC)⎤⎦ − ⎡⎣(n²)/(pC)⎤⎦ ≥ ⎡⎣(2n + 1)/(pC)⎤⎦ und ⎡⎣((n + 1)²)/(pC)⎤⎦ − ⎡⎣(n²)/(pC)⎤⎦ ≤  − ⎡⎣ − (2n + 1)/(pC)⎤⎦,  letzteres folgt durch Multiplikation mit ( − 1) aus ⎡⎣(n²)/(pC)⎤⎦ − ⎡⎣((n + 1)²)/(pC)⎤⎦ ≥ ⎡⎣ − (2n + 1)/(pC)⎤⎦. Die Zusammenfassung beider Ungleichungen ergibt

und In (56↑) werden nun die Terme mit gleichem Summationsschritt zusammengefaßt sowie der 1. und 3. Term mittels (57↑), der 2. und 4. Term mittels (58↑) abgeschätzt: sowie Aus der Vereinigung von (59↑) und (60↑) folgt nach Abschätzung gemäß (39↑) - imFalle von (60↑) mit umgekehrtem Vorzeichen - also die Gleichheit. Durch Einsetzen von (46↑) ergibt sich Darin gilt nach Definition ∏0j = 1⎛⎝1 − (1)/(pj)⎞⎠ = 1. Wegen (48↑), angewendet auf das Intervall ηn mit der Breite bn = (n + 1)2 − n2 = 2n + 1,  gilt dann Ersetzt man  − p − 1i = ( − 1 + (1 − p − 1i)) und multipliziert dies aus (Umordnungen in endlichen Produkten sind erlaubt) , so heben sich Summanden paarweise auf. Man erhält Diese Formel liefert bei numerischer Auswertung für kleine Werte von n,  pi0 = ≺n + 1≻ die reale Anzahl von Primzahlen im n-ten Quadratintervall mit einem maximalen Fehler von ±2 für n ≤ 40 bei Verwendung ganzzahlig abgerundeter Werte. Auch die daraus bestimmte Anzahl von Primzahlen  ≤ x, π(x) = ∑n0n = 0π(ηn),  liefert, s. Tab. 5.1., sinnvolle Werte:

    

n0	10	20	30	40
π((n0 + 1)2)	26	80	161	266
Realwert	30	85	162	263